鸽巢问题三教学设计
兴趣是学习最好的老师,根据学生的兴趣,做好课堂的教学方案。接下来小编搜集了鸽巢问题三教学设计,仅供大家参考。
设计理念
《鸽巢问题》既鸽巢原理又称抽屉原理,它是组合数学的一个基本原理,最先是由德国数学家狄利克雷明确提出来的,因此,也称为狄利克雷原理。
首先,用具体的操作,将抽象变为直观。“总有一个筒至少放进2支笔”这句话对于学生而言,不仅说起来生涩拗口,而且抽象难以理解。怎样让学生理解这句话呢?我觉得要让学生充分的操作,一在具体操作中理解“总有”和“至少”;二在操作中理解“平均分”是保证“至少”的最好方法。通过操作,最直观地呈现“总有一个筒至少放进2支笔”这种现象,让学生理解这句话。
其次,充分发挥学生主动性,让学生在证明结论的过程中探究方法,总结规律。学生是学习的主动者,特别是这种原理的初步认识,不应该是教师牵着学生去认识,而是创造条件,让学生自己去探索,发现。所以我认为应该提出问题,让学生在具体的操作中来证明他们的结论是否正确,让学生初步经历“数学证明”的过程,逐步提高学生的逻辑思维能力。
再者,适当把握教学要求。我们的教学不同奥数,因此在教学中不需要求学生说理的严密性,也不需要学生确定过于抽象的“鸽巢”和“物体”。
教材分析
《鸽巢问题》这是一类与“存在性”有关的问题,如任意13名学生,一定存在两名学生,他们在同一个月过生日。在这类问题中,只需要确定某个物体(或某个人)的存在就可以了,并不需要指出是哪个物体(或哪个人),也不需要说明通过什么方式把这个存在的物体(或人)找出来。这类问题依据的理论,我们称之为“鸽巢问题”。
通过第一个例题教学,介绍了较简单的“鸽巢问题”:只要物体数比鸽巢数多,总有一个鸽巢至少放进2个物体。它意图让学生发现这样的一种存在现象:不管怎样放,总有一个筒至少放进2支笔。呈现两种思维方法:一是枚举法,罗列了摆放的所有情况。二是假设法,用平均分的方法直接考虑“至少”的情况。通过前一个例题的两个层次的探究,让学生理解“平均分”的方法能保证“至少”的情况,能用这种方法在简单的具体问题中解释证明。
第二个例题是在例1的基础上说明:只要物体数比鸽巢数多,总有一个鸽巢里至少放进(商+1)个物体。因此我认为例2的目的是使学生进一步理解“尽量平均分”,并能用有余数的除法算式表示思维的过程。
学情分析
可能有一部分学生已经了解了鸽巢问题,他们在具体分得过程中,都在运用平均分的方法,也能就一个具体的问题得出结论。但是这些学生中大多数只“知其然,不知其所以然”,为什么平均分能保证“至少”的情况,他们并不理解。还有部分学生完全没有接触,所以他们可能会认为至少的情况就应该是“1”。
教学目标
1、通过猜测、验证、观察、分析等数学活动,经历“鸽巢问题”的探究过程,初步了解“鸽巢问题”,会用“鸽巢原理”解决简单的实际问题。渗透“建模”思想。
2、经历从具体到抽象的探究过程,提高学生有根据、有条理地进行思考和推理的能力。
3、通过“鸽巢原理”的灵活应用,提高学生解决数学问题的能力和兴趣,感受到数学文化及数学的魅力。
教学重点
经历“鸽巢问题”的探究过程,初步了解“鸽巢原理”。
教学难点
理解“鸽巢问题”,并对一些简单实际问题加以“模型化”。
教学过程
一、游戏激趣,初步体验。
游戏规则是:请这四位同学从数字1.2.3中任选一个自己喜欢的数字写在手心上,写好后,握紧拳头不要松开,让老师猜。
[设计意图:联系学生的.生活实际,激发学习兴趣,使学生积极投入到后面问题的研究中。]
二、操作探究,发现规律。
1、具体操作,感知规律
教学例1: 4支笔,三个筒,可以怎么放?请同学们运用实物放一放,看有几种摆放方法?
(1)学生汇报结果
(4 ,0 , 0 ) (3 ,1 ,0) (2 ,2 ,0) (2 , 1 , 1 )
(2)师生交流摆放的结果
(3)小结:不管怎么放,总有一个筒里至少放进了2支笔。
(学情预设:学生可能不会说,“不管怎么放,总有一个筒里至少放进了2支笔。”)
[设计意图:鸽巢问题对于学生来说,比较抽象,特别是“不管怎么放,总有一个筒里至少放进了2支笔。”这句话的理解。所以通过具体的操作,枚举所有的情况后,引导学生直接关注到每种分法中数量最多的筒,理解“总有一个筒里至少放进了2支笔”。让学生初步经历“数学证明”的过程,训练学生的逻辑思维能力。]
质疑:我们能不能找到一种更为直接的方法,只摆一次,也能得到这个结论的方法呢?
2、假设法,用“平均分”来演绎“鸽巢问题”。
1思考,同桌讨论:要怎么放,只放一次,就能得出这样的结论?
学生思考——同桌交流——汇报
2汇报想法
预设生1:我们发现如果每个筒里放1支笔,最多放4支,剩下的1支不管放进哪一个筒里,总有一个筒里至少有2支笔。
3学生操作演示分法,明确这种分法其实就是“平均分”。
[设计意图:鼓励学生积极的自主探索,寻找不同的证明方法,在枚举法的基础上,学生意识到了要考虑最少的情况,从而引出假设法渗透平均分的思想。]
三、探究归纳,形成规律
1、课件出示第二个例题:5只鸽子飞回2个鸽巢呢?至少有几只鸽子飞进同一个鸽巢里?应该怎样列式“平均分”。
[设计意图:引导学生用平均分思想,并能用有余数的除法算式表示思维的过程。]
根据学生回答板书:5÷2=2……1
(学情预设:会有一些学生回答,至少数=商+余数 至少数=商+1)
根据学生回答,师边板书:至少数=商+余数?
至少数=商+1 ?
2、师依次创设疑问:7只鸽子飞回5个鸽巢呢?8只鸽子飞回5个鸽巢呢?9只鸽子飞回5个鸽巢呢?(根据回答,依次板书)
……
7÷5=1……2
8÷5=1……3
9÷5=1……4
观察板书,同学们有什么发现吗?
得出“物体的数量大于鸽巢的数量,总有一个鸽巢里至少放进(商+1)个物体”的结论。
板书:至少数=商+1
[设计意图:对规律的认识是循序渐进的。在初次发现规律的基础上,从“至少2支”得到“至少商+余数”个,再到得到“商+1”的结论。]
师过渡语:同学们的这一发现,称为“鸽巢问题”,最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的,所以又称“狄里克雷原理”,也称为“鸽巢原理”。这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。“鸽巢原理”的应用是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结果。下面我们应用这一原理解决问题。
四、运用规律解决生活中的问题
课件出示习题.:
1、三个小朋友同行,其中必有几个小朋友性别相同。
2、五年一班共有学生53人,他们的年龄都相同,请你证明至少有两个小朋友出生在同一周。
3、从电影院中任意找来13个观众,至少有两个人属相相同。
[设计意图:让学生体会平常事中也有数学原理,有探究的成就感,激发对数学的热情。]
五、课堂总结
这节课我们学习了什么有趣的规律?请学生畅谈,师总结。
教学目标:
1、知识与技能:使学生初步了解“鸽巢原理”,会运用“鸽巢原理”解决一些简单的实际问题。
2、过程与方法:通过操作、观察、比较、推理等数学活动,使学生经历“鸽巢原理”的形成过程,体会和掌握逻辑推理和模型思想。
3、情感态度:通过学习活动,感受数学的魅力,体会数学的价值,提高学生学习数学的兴趣和能力。
教学重点:
理解鸽巢原理,掌握先“平均分”,再调整的方法。
教学难点:
理解“总有”“至少”的意义,理解“至少数=商数+1”。
教学过程:
一、谈话引入:
1、谈话:你们知道“料事如神”这个词是什么意思吗?今天老师也能做到“料事如神”,你们信不信?现在老师任意点13位同学,我就可以肯定,至少有2个同学的生日在同一个月。你们信吗?
2、验证:学生报出生月份。
根据所报的月份,统计13人中生日在同一个月的学生人数。
适时引导:“至少2个同学”是什么意思?(也就是2人或2人以上,反过来,生日在同一个月的可能有2人,可能3人、4人、5人……,也可以用一句话概括就是“至少有2人”)
3、设疑:你们想知道这是为什么吗?通过今天的学习,你就能解释这个现象了。下面我们就来研究这类问题,我们先从简单的情况入手研究。
二、自主探究,初步感知
(一)初步感知
1、出示题目:有3支铅笔,2个笔筒(把实物摆放在讲桌上),把3支铅笔放进2个笔筒,怎么放?有几种不同的放法?谁愿意上来试一试。
2、学生上台实物演示。
可能有两种情况:一个放3支,另一个不放;一个放2支,另一个放1支。
教师根据学生回答在黑板上画图和数的分解两种方法表示两种结果。(3,0)、(2、1)
3、提出问题:“不管怎么放,总有一个笔筒里至少有2支铅笔”,这句话说得对吗?
学生尝试回答,师引导:这句话里“总有一个笔筒”是什么意思?(一定有,不确定是哪个笔筒,最多的笔筒)。这句话里“至少有2支”是什么意思?(最少有2支,不少于2支,包括2支及2支以上)
4、得到结论:从刚才的实验中,我们可以看到3支铅笔放进2个笔筒,总有一个笔筒至少放进2支笔。
(二)列举法
过渡:如果现在有4支铅笔放进3个笔筒,还会出现这样的结论吗?
1、小组合作:
(1)画一画:借助“画图”或“数的分解”的方法把各种情况都表示出来;
(2)找一找:每种摆法中最多的一个笔筒放了几支,用笔标出;
(3)我们发现:总有一个笔筒至少放进了( )支铅笔。
2、学生汇报,展台展示。
交流后明确:
(1)四种情况:(4,0,0)、(3,1,0)、(2,1,1)、(2,2,0)
(2)每种摆法中最多的一个笔筒放进了:4支、3支、2支。
(3)总有一个笔筒至少放进了2支铅笔。
3、小结:刚才我们通过“画图”、“数的分解”两种方法列举出所有情况验证了结论,这种方法叫“列举法”,我们能不能找到一种更为直接的方法,只摆一种情况,也能得到这个结论,找到“至少数”呢?
(三)假设法
1、学生尝试回答。
2、学生操作演示,教师图示。
3、语言描述:把4支铅笔平均放在3个笔筒里,每个笔筒放1支,余下的1支,无论放在哪个笔筒,那个笔筒就有2支笔,所以说总有一个笔筒至少放进了2支笔。(指名说,互相说)
4、引导发现:
(1)这种分法的实质就是先怎么分的?(平均分)
(2)为什么要一开始就平均分?(均匀地分,使每个笔筒的笔尽可能少一点,方便找到“至少数”),余下的1支,怎么放?(放进哪个笔筒都行)
(3)怎样用算式表示这种方法?(4÷3=1支……1支 1+1=2支)算式中的两个“1”是什么意思?
5、引伸拓展:
(1)5支笔放进4个笔筒,总有一个笔筒至少放进( )支笔。
(2)6支笔放进5个笔筒,总有一个笔筒至少放进( )支笔。
(3)7支笔放进6个笔筒,总有一个笔筒至少放进( )支笔。
(4)26支笔放进25个笔筒,总有一个笔筒至少放进( )支笔。
(5)100支笔放进99个笔筒,总有一个笔筒至少放进( )支笔。
学生列出算式,依据算式说理。
6、发现规律:刚才的这种方法就是“假设法”。我们为什么都采用假设的方法来分析,而不是画图或列举法呢?“假设法”里面蕴含了“平均分”,我们用有余数的除法算式把平均分的过程简明的表示出来了,现在会用简便方法求“至少数”吗?
(四)提升思维,构建模型
1、出示题目:5支笔放进3支笔筒,5÷3=1支……2支
2、小组讨论,突破难点:至少2只还是3只?
3、学生说理,边摆边说:先平均分每个笔筒放进1支笔,余下2只再平均分放进2个不同的笔筒里,所以至少2只。(指名说,互相说)
4、质疑:为什么第二次平均分?(保证“至少”)
5、强化:如果把笔和笔筒的数量进一步增加呢?
(1)7支笔放进3个笔筒,至少几支放进同一个笔筒?
7÷3=2(支)…1(支) 2+1=3(支)
(2)14支笔放进4个笔筒,至少几支放进同一个笔筒?
14÷4=3(支)…2(支) 3+1=4(支)
(3)23支笔放进4个笔筒,至少几支放进同一个笔筒?
23÷4=5(支)…3(支) 5+1=6(支)
6、对比算式,发现规律:先平均分,再用所得的“商+1”
7、强调:和余数有没有关系?(与余数无关,不管余多少,都要再平均分,所以就是加1.)
把8枝笔放进4个盒子里会有什么结果?
8、引申拓展:刚才我们研究了笔放入笔筒的问题,那如果换成鸽子飞进鸽笼你会解答吗?把苹果放入抽屉,把书放入书架,……,类似的问题我们都可以用这种方法解答。
三、鸽巢原理的由来
微视频:同学们从数学的角度分析了这些事情,同时根据数据特征,发现了这些规律。你们发现的这个规律和一位数学家发现的规律一模一样,只不过他是在150多年前发现的,你们知道他是谁吗?——德国数学家“狄里克雷”,人们为了纪念他从这么平凡的事情中发现的规律,就把这个规律用他的名字命名,叫“狄里克雷原理”,由于人们对鸽子飞回鸽巢这个引起思考的故事记忆犹新,所以人们又把这个原理叫做“鸽巢原理”,它还有另外一个名字叫“抽屉原理”。
四、运用“鸽巢原理”,解决问题
1、11只鸽子飞进了4个鸽笼,总有一个鸽笼至少飞进了3只鸽子。为什么?
2、把10个苹果放进4个抽屉中,不管怎么放,总有一个抽屉至少放几个苹果?
3、随意找13位老师,他们中至少有2个人的属相相同。为什么?
4、一副扑克牌,去掉了两张王牌,还剩52张,请五位同学每人任意抽1张,同种花色的至少有2张,为什么?
五、教师小结
出示课件。所以我们要相信科学,用科学的眼光去看待问题,用科学的方式去分析问题,用科学的方法去解决问题。在学习和生活中,如果我们留心观察,再加上细心思考,就可能有伟大的发现。
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